# امتحان تجريبي لمباراة ENSAM — الرياضيات والفيزياء

20 سؤالا أصليا (11 في الرياضيات و9 في الفيزياء) من مقرر السنة الثانية بكالوريا، مع مكانة مهمة للميكانيك والكهرباء. المدة 40 دقيقة، أي دقيقتان لكل سؤال، للتعود على إيقاع المباراة؛ أما المواد والمدة وسلم التنقيط الرسمية فيحددها الإعلان والاستدعاء. دون آلة حاسبة، وجواب صحيح واحد لكل سؤال.

- 20 سؤالاً · 40 دقيقة · الهدف: 60٪
- أسئلة أصلية من إعداد رادار المباريات للتدريب، وليست مواضيع رسمية.
- https://www.concoursradar.com/ar/preparer/ensam/examen-blanc

### 1. [Mathématiques] Que vaut la limite de sin(3x)/x quand x → 0 ?

- A) 0
- B) 3
- C) 1/3
- D) 1

### 2. [Mathématiques] Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) sur ℝ ?

- A) 2x/(x² + 1)
- B) 1/(x² + 1)
- C) 2x·ln(x² + 1)
- D) 1/(2x)

### 3. [Mathématiques] On pose u₀ = 2 et uₙ₊₁ = ½uₙ + 3. La suite (uₙ) :

- A) converge vers 3
- B) converge vers 2
- C) diverge vers +∞
- D) converge vers 6

### 4. [Mathématiques] Que vaut l'intégrale de 0 à ln 2 de e^(2x) dx ?

- A) 3
- B) 1/2
- C) 3/2
- D) ln 2

### 5. [Mathématiques] Une forme exponentielle de z = 1 − i√3 est :

- A) 2e^(−iπ/3)
- B) 2e^(iπ/3)
- C) 4e^(−iπ/3)
- D) 2e^(−iπ/6)

### 6. [Mathématiques] Les solutions dans ℝ de e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 sont :

- A) x = 1 et x = 2
- B) x = 0 et x = ln 2
- C) x = ln 2 seulement
- D) x = 0 seulement

### 7. [Mathématiques] On lance trois fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un 6 ?

- A) 1/6
- B) 1/2
- C) 25/72
- D) 25/216

### 8. [Mathématiques] Soit f(x) = x + ln x sur ]0 ; +∞[. L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α. On donne ln 2 ≈ 0,69 et ln 0,6 ≈ −0,51. Quel encadrement est correct ?

- A) 0 < α < 0,5
- B) 0,6 < α < 1
- C) 1 < α < 2
- D) 0,5 < α < 0,6

### 9. [Mathématiques] Que vaut l'intégrale de 1 à e de x·ln x dx ?

- A) (e² + 1)/4
- B) (e² − 1)/4
- C) e²/2
- D) 1/4

### 10. [Mathématiques] La solution de l'équation différentielle y′ = 2y + 4 vérifiant y(0) = 0 est :

- A) y = e^(2x) − 1
- B) y = −2e^(2x) + 2
- C) y = 4e^(2x) − 4
- D) y = 2e^(2x) − 2

### 11. [Mathématiques] Dans un repère orthonormé de l'espace, la sphère (S) : x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 coupe le plan d'équation z = 2 selon un cercle de rayon :

- A) 3
- B) √5
- C) √13
- D) 1

### 12. [Physique] Un sonar émet une impulsion ultrasonore dans l'eau (v = 1500 m/s) ; l'écho revient au bout de 2,0 ms. À quelle distance se trouve l'obstacle ?

- A) 3,0 m
- B) 0,75 m
- C) 1,5 m
- D) 750 m

### 13. [Physique] Le carbone 14 a une demi-vie de 5730 ans. Un échantillon ancien a une activité égale à 25 % de celle d'un échantillon vivant identique. Son âge est d'environ :

- A) 11 460 ans
- B) 2 865 ans
- C) 5 730 ans
- D) 22 920 ans

### 14. [Physique] Une voiture de 1000 kg passe de 0 à 20 m/s en 10 s, en mouvement rectiligne uniformément accéléré. L'intensité de la résultante des forces extérieures qui s'exercent sur elle vaut :

- A) 200 N
- B) 1000 N
- C) 2000 N
- D) 20 000 N

### 15. [Physique] Dans un dipôle RC, R = 1 kΩ et τ = 2 ms. La capacité du condensateur vaut :

- A) 2 mF
- B) 0,5 μF
- C) 2 nF
- D) 2 μF

### 16. [Physique] Un condensateur C = 1 μF chargé sous 10 V est relié à une bobine idéale L = 10 mH (circuit LC sans pertes). L'intensité maximale du courant vaut :

- A) 1 A
- B) 0,1 A
- C) 10 mA
- D) 1 mA

### 17. [Physique] Un pendule élastique horizontal (solide de masse m = 0,5 kg accroché à un ressort) a pour équation horaire x(t) = 0,04·cos(10t), avec x en m et t en s. La raideur k du ressort vaut :

- A) 5 N/m
- B) 20 N/m
- C) 0,4 N/m
- D) 50 N/m

### 18. [Physique] Une balle est lancée depuis le sol à v₀ = 10 m/s sous un angle de 45° (g = 10 m/s², sol horizontal, frottements négligés). Sa portée horizontale vaut :

- A) 5 m
- B) 14,1 m
- C) 10 m
- D) 20 m

### 19. [Physique] Un solide de masse 0,5 kg descend un plan incliné de 30° en subissant une force de frottement constante f = 1 N, parallèle au plan et opposée au mouvement (g = 10 m/s²). Son accélération vaut :

- A) 5 m/s²
- B) 3 m/s²
- C) 7 m/s²
- D) 2 m/s²

### 20. [Physique] Une bobine (L = 0,5 H) est en série avec une résistance totale R = 50 Ω sous tension continue. Après la fermeture de l'interrupteur, au bout de combien de temps le courant atteint-il 90 % de sa valeur finale (ln 10 ≈ 2,3) ?

- A) 23 ms
- B) 10 ms
- C) 9 ms
- D) 50 ms

## التصحيح

1. **B) 3** — sin(3x)/x = 3 × sin(3x)/(3x), et sin(u)/u → 1 quand u → 0 : la limite vaut 3.
2. **A) 2x/(x² + 1)** — (ln u)′ = u′/u avec u = x² + 1 et u′ = 2x. Le piège 1/(x² + 1) oublie de dériver u.
3. **D) converge vers 6** — La limite ℓ vérifie ℓ = ½ℓ + 3, d'où ℓ = 6 ; vₙ = uₙ − 6 est géométrique de raison ½, donc vₙ → 0 et uₙ → 6.
4. **C) 3/2** — Une primitive est ½e^(2x) : ½(e^(2 ln 2) − 1) = ½(4 − 1) = 3/2. Le piège 3 oublie le facteur ½.
5. **A) 2e^(−iπ/3)** — |z| = √(1 + 3) = 2 ; cos θ = 1/2 et sin θ = −√3/2, donc θ = −π/3. Le module n'est pas 4 : on prend la racine carrée de 1 + 3.
6. **B) x = 0 et x = ln 2** — Avec t = e^x > 0 : t² − 3t + 2 = 0, donc t = 1 ou t = 2, d'où x = 0 ou x = ln 2. Le piège « 1 et 2 » donne les valeurs de t, pas celles de x.
7. **C) 25/72** — Loi binomiale B(3 ; 1/6) : P = 3 × (1/6) × (5/6)² = 75/216 = 25/72. 25/216 oublie le facteur 3 (position du 6 parmi les trois lancers).
8. **D) 0,5 < α < 0,6** — f′(x) = 1 + 1/x > 0, donc f est strictement croissante. f(0,5) = 0,5 − ln 2 ≈ −0,19 < 0 et f(0,6) ≈ 0,6 − 0,51 = 0,09 > 0 : par le théorème des valeurs intermédiaires, 0,5 < α < 0,6.
9. **A) (e² + 1)/4** — Par parties (u = ln x, v′ = x) : [x²/2 · ln x] de 1 à e moins l'intégrale de x/2, soit e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4.
10. **D) y = 2e^(2x) − 2** — Les solutions sont y = C·e^(2x) − 2 (−2 est la solution constante). y(0) = C − 2 = 0 donne C = 2.
11. **B) √5** — (S) s'écrit (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9 : centre Ω(1 ; −2 ; 0), rayon R = 3. La distance de Ω au plan est d = 2, donc r = √(R² − d²) = √5.
12. **C) 1,5 m** — L'onde fait l'aller-retour : 2d = v·Δt, d'où d = 1500 × 2·10⁻³ / 2 = 1,5 m. 3,0 m oublie l'aller-retour.
13. **A) 11 460 ans** — 25 % = (1/2)² : deux demi-vies se sont écoulées, soit t = 2 × 5730 = 11 460 ans.
14. **C) 2000 N** — a = Δv/Δt = 2 m/s² ; d'après la 2e loi de Newton, ΣF = m·a = 1000 × 2 = 2000 N.
15. **D) 2 μF** — τ = R·C, donc C = τ/R = 2·10⁻³ / 10³ = 2·10⁻⁶ F = 2 μF.
16. **B) 0,1 A** — Conservation de l'énergie : ½·C·U² = ½·L·Imax², donc Imax = U·√(C/L) = 10 × √(10⁻⁴) = 0,1 A.
17. **D) 50 N/m** — ω₀ = √(k/m) = 10 rad/s, donc k = m·ω₀² = 0,5 × 100 = 50 N/m. 5 N/m oublie le carré ; 0,4 est la vitesse maximale A·ω₀ en m/s.
18. **C) 10 m** — Portée D = v₀²·sin(2α)/g = 100 × sin 90° / 10 = 10 m ; elle est maximale pour α = 45°.
19. **B) 3 m/s²** — En projetant la 2e loi de Newton sur la ligne de plus grande pente : m·a = m·g·sin α − f, d'où a = 10 × 0,5 − 1/0,5 = 5 − 2 = 3 m/s². 7 m/s² vient d'une erreur de signe sur f.
20. **A) 23 ms** — τ = L/R = 10 ms. i(t) = I(1 − e^(−t/τ)) = 0,9·I donne e^(−t/τ) = 0,1, soit t = τ·ln 10 ≈ 2,3τ ≈ 23 ms. 10 ms (τ) ne correspond qu'à 63 %.